第十章 机械振动和电磁振荡

简谐振动中质点的位移,速度,加速度

振幅 \(A\) 和初始相位 \(\phi_0\) 的确定 (根据初始条件)

振幅

物体离开平衡位置的最大位移的绝对值.(由初始条件决定)

周期

\[T = \frac{2\pi}{\omega}\]

频率

\[\nu = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\]

角频率

\[\omega = 2\pi \nu = \frac{2\pi}{T}\]

相位

\[\omega t + \phi_0\] 与 \((x, v)\) 存在 一一对应 关系. 初相;相位差:同相,反相,超前,落后.

谐振动的旋转矢量图示法:投影点的运动为简谐运动.

速度,加速度的旋转矢量表示法.

常见的简谐振动(单摆,复摆)

简谐振动的能量:机械能守恒,与振幅的平方成正比.

简谐振动的判别方法: 四个条件(力学;动力学;运动学;能量)之间可以相互导出.

• 当 \(\delta < \omega_0\) (欠阻尼), 微分方程的解为: \[x = A_0 \mathrm{e}^{- \delta t}\cos \left( \omega^{\prime}t + \phi^{\prime}_0 \right)\] 其中 \(\omega^{\prime} = \sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}\) \(A_0\) 与 \(\phi_0^{\prime}\) 由初始条件确定.

  \(\cos\left( \omega^{\prime}t + \phi^{\prime}_0 \right)\) 反映了在弹性力和阻力作用的周期运动 \(A_0 \mathrm{e}^{- \delta t}\) 反映了阻尼对振幅的影响: 振幅随时间做指数衰减.

  准周期振动

  阻尼振动中,质点的位移不再是时间的周期函数(振幅减小),但阻尼振动仍有时间的重复性,称为准周期振动.

• 当 \(\delta > \omega_0\) (过阻尼), 微分方程的解为: \[x = A_1 \mathrm{e}^{\left( - \gamma + \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \right)t} + A_2 \mathrm{e}^{\left( - \gamma - \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} \right)t}\] \(A_1, A_2\) 由初始条件决定.

  过阻尼振动振幅以非周期性的方式缓慢回到平衡位置.

• 当 \(\delta = \gamma\) (临界阻尼), 微分方程的解为: \[ x = \left[ x_0 + (v_0 + \gamma x_0) t \right] \mathrm{e}^{- \gamma t} \] 其中 \(x_0, v_0\) 分别为初始时刻振动系统的位置和速度.

  此时系统的运动也不具有周期性, 振动系统刚刚不能做准周期振动而很快回到平衡位置, 其趋近平衡点的过程要比过阻尼迅速.

  \(\delta = \gamma\) 是从周期性因子 \(\omega^{\prime}\sqrt{\omega_0^2 - \delta^2}\) 到无周期性的临界点, 是质点不做往复的一个极限.

实际中,振动由于受到阻尼的作用,振动幅度逐渐减小并趋向于零.

设驱动力为 \(F = F_0\cos\omega t\) \[x = A_0 \mathrm{e}^{- \delta t}\cos \left( \omega^{\prime}t + \phi^{\prime}_0 \right) + A\cos \left( \omega t + \phi_0 \right)\] 其中 \(A_0 \mathrm{e}^{- \delta t}\cos\left( \omega^{\prime}t + \phi^{\prime}_0 \right)\) 是 衰减项; \(A\cos \left( \omega t + \phi_0 \right)\) 为 稳态项.

受迫振动稳定时位移近似为 \[A\cos \left( \omega t + \phi_0 \right)\]

受迫振动达到稳态时频率不是系统自身的固有频率 \(\omega_0\), 而是驱动力的频率 \(\omega\).

稳态振幅

\[A = \frac{F_0}{m \sqrt{\left( \omega_0^2 - \omega^2 \right)^2 + 4 \delta^2\omega^2}}\]

稳态初相位

\[\tan\phi_0 = \frac{2\delta\omega}{\omega_0^2 - \omega^2}\]

稳态时速度

\[v = v_m \cos \left( \omega t \phi_0 + \frac{\pi}{2} \right)\]

速度振幅

\[v_m = \omega A = \frac{F_0}{m \sqrt{\left( \frac{\omega_0^2}{\omega} - \omega \right)^2 + 4\delta^2}}\]

• 位移共振: \(\omega_r = \sqrt{\omega^2 - 2 \delta^2}\) 位移振幅达到最大值.
• 速度共振: \(\omega_r = \omega_0\), 速度振幅达到最大值.

当 阻尼很小 的情况下, 可以近似认为 速度共振 与 位移共振 在同一频率 \(\omega_0\) 下发生.

\begin{cases} x_1 = A_1 \cos(\omega t + \phi_{10}) \\ x_2 = A_2 \cos(\omega t + \phi_{20}) \\ \end{cases}

两振动的相位差 \(\Delta\phi = \phi_{20} - \phi_{10}\) 为常数.

由旋转矢量法易得: \[x = A\cos (\omega t + \phi_0)\] 故同一直线上两同频率谐振动的合成仍为同频率的谐振动.

其中振幅 \(A\) 有 \[A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1A_2\cos(\phi_{20} - \phi_{10})} \in \left[ \left|A_1 - A_2\right|, A_1 + A_2 \right]\] 故合振动的振幅取决于两分振动的相位差:

• 同相 (\(\phi_{20} - \phi_{10} = 2k\pi\)), \(A = A_1 + A_2\)
• 反相 (\(\phi_{20} - \phi_{10} = (2k+1)\pi\)), \(A = |A_1 - A_2|\)

前提条件: 振幅与初相相同,频率相近

\begin{cases} x_1 = A\cos \left( \omega_1 + \phi_0 \right)\\ x_2 = A\cos \left( \omega_2 + \phi_0 \right) \end{cases}

此处设 \(\omega_2 > \omega_1\).

有解: \[ x = 2A\cos \left( \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \right) \cos \left( \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t + \phi_0 \right)\]

• 合振动角频率 \((\omega_2 - \omega_1) / 2 \approx \omega_2 \approx \omega_1\)
• 振幅 \[2A\cos \left( \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \right)\]
• 周期为 \[\left| \frac{2\pi}{\omega_1 - \omega_2} \right|\]

\begin{cases} x = A_1\cos \left( \omega t + \phi_{10} \right)\\ y = A_2\cos \left( \omega t + \phi_{20} \right) \end{cases}

消去 \(t\) 得到轨道方程: \[ \frac{x^2}{A_1^2} + \frac{y^2}{A_2^2} - 2 \frac{xy}{A_1A_2}\cos \left( \phi_{20} - \phi_{10} \right) = \sin^2 \left( \phi_{20} - \phi_{10} \right)\]

李萨如图形

振动的分解

傅里叶定理

任何一个周期振动都可以看成是由各种不同频率的谐振动的合成.

基频决定音调,高次谐频决定音色.